sábado, 13 de agosto de 2011

Genética estructural: el número áureo Phi ( φ )

El número áureo o número phi,  representado con la letra griega φ en honor al escultor griego Fidias, es un concepto matemático que hace referencia a una curiosa proporción entre segmentos de líneas rectas que puede observarse en la naturaleza (flores, hojas, ramas, raíces, frutos, moluscos, estrellas de mar, estructuras de coral,  cristales de roca, copos de nieve, proporción ideal entre las partes del cuerpo humano, etc...) y en ciertas figuras geométricas (triángulo, círculo, cuadrado, rectángulo, estrella, elipse, rombo, cubo, esfera, pentágono, tetraedro, octaedro, icosaedro, dodecaedro, etc..). Es un número algebraico irracional, un decimal infinito no periódico, que no puede ser reducido ni fraccionado.

Fue descrito y estudiado por primera vez por Euclides hacia el año 300 a. C.  En la Edad Media se le atribuyó un carácter estético y divino considerando perfectas las proporciones que seguían los principios del número áureo. Su fórmula matemática es φ = 1 + √5 / 2 = 1´6180339887.......hasta el infinito. La Raíz cuadrada de 5 es también un número algebraico irracional con un valor infinito.

 
φ = AC / BC = 1´61803.
En esta flor de Potentilla reptans es muy fácil encontrar el numero áureo uniendo con líneas rectas las escotaduras de cada uno de sus cinco pétalos dibujando un pentágono regular. Luego basta trazar otra línea recta uniendo las escotaduras de dos pétalos no contiguos y obtenemos los dos valores para calcular el número áureo. A veces el número obtenido no es exacto aunque muy aproximado. Para afinar más el resultado se pueden obtener los valores de cada uno de los cinco ángulos del pentágono y sacar la media, con lo que se obtiene un número áureo prácticamente exacto.

φ = AB / BC = 1´61803.
En esta flor de Eruca sativa es también muy fácil encontrar dos valores para calcular el número áureo. Al tener cuatro pétalos idénticos es suficiente con dibujar una línea recta uniendo cada dos pétalos con lo que se obtiene un cuadrado perfecto. Luego se unen los cuatro lados del cuadrado con dos líneas que se crucen  en el centro de la flor y se obtienen cuatro cuadrados idénticos más pequeños. Trazando una línea en diagonal que vaya desde el ángulo de un cuadrado hasta el ángulo opuesto de un cuadrado contiguo se obtiene el primer valor AB. El otro valor BC se obtiene dibujando una línea diagonal que una dos ángulos opuestos de un mismo cuadrado.

φ = AB / BC = 1´61803.
Esta pequeña flor de Ophrys speculum tiene la belleza mística atribuida por los matemáticos a las formas que cumplen con las proporciones del número áureo. Fue muy sencillo encontrar dos valores para calcularlo con una exactitud asombrosa.

Las propiedades y posibles aplicaciones de este número euclidiano han sido profusamente estudiadas por los matemáticos desde el siglo dieciocho hasta la actualidad, dando lugar a diversos teoremas, ecuaciones y fórmulas matemáticas, como el famoso Teorema de Kolmogórov–Arnold–Moser o teorema KAM. 

Se ha encontrado una estrecha relación entre el número áureo y la Secuencia de Fibonacci. Ambos conceptos matemáticos están ampliamente representados en la naturaleza.

φ = AB / CD = 1´61803.
Esta pequeña flor casi albina de Solenopsis balearica, endémica de Mallorca, tiene también una estructura en la forma y distribución de sus cinco pétalos que parece diseñada por un matemático. Un simple trazo uniendo los vértices de los dos pétalos laterales mayores nos da el primer valor AB y otro trazo uniendo los vértices de los dos pétalos menores nos da el otro valor CD. La sencillez y la belleza del diseño son asombrosas. El número áureo obtenido es sorprendentemente exacto.

φ = AB / AC = 1´61803. 
φ = AB / BC = 1´61803. 
Esta flor de azucena marina, Pancratium maritimum, de un blanco inmaculado y una simetría perfecta cuenta con un diseño que facilita mucho encontrar dos valores para calcular el número áureo. El primer valor AB se obtiene uniendo con una línea recta los vértices de dos pétalos opuestos. Para encontrar el segundo valor se trazan dos líneas que van desde el vértice de cada uno de los dos pétalos anteriores hasta el vértice de un pétalo no contiguo. Estas dos líneas se cruzan en el punto C y forman un aspa con dos brazos largos y dos brazos cortos. Cada uno de los brazos largos es el segundo valor.

 φ = CD / AB = 1´61803.
Los cinco pétalos de las luminosas florecillas de la Saxifraga pickeringii, endémica de Madeira, conforman un pentágono perfecto al unir la punta de cada pétalo con el contiguo y el no contiguo. Al dividir el trazo entre dos pétalos no contiguos (CD) con el trazo entre dos pétalos contiguos (AB), se obtiene el número áureo de la armonía estética.


 φ = AB / BC = 1´61803.
El contenido jugoso de los frutos también sigue escrupulosamente las leyes matemáticas de la naturaleza, como en los gajos de esta fantástica naranja Sanguinelli.

 φ = AB / CD = 1´61803.
Los sépalos persistentes del cáliz en una granada también lucen una perfecta simetría y armonía matemáticas.
 
φ = AB / CD = 1´61803.
φ = CD / EF = 1´61803. 
En las hojas es algo más complicado encontrar dos valores que nos permitan obtener un número áureo exacto. Sin embargo en esta hoja de zarzamora canaria, Rubus palmensis, las medidas de sus cinco folíolos tienen unos valores decrecientes que al dividirlos entre ellos nos dan un resultado sorprendentemente exacto.

φ = AC / AB = 1´61803.
 Otro ejemplo de una planta canaria, la Hedera canariensis, fotografiada en el bellísimo Bosque de Los Tiles de la Isla de la Palma. Sus hojas acorazonadas de una simetría perfecta nos permiten hallar con facilidad dos líneas diagonales que al dividirse entre ellas nos dan el número áureo.

 φ = AD / BD = 1´61803.
 Y finalmente en esta hoja trilobada de higuera Napolitana Blanca es fácil encontrar dos valores que al dividirse entre ellos nos dan el número áureo, el número mágico de la belleza divina y la perfección.

A lo largo de los siglos esta proporción matemática con ejemplos tan abundantes en los seres vivos y en las rocas ha sido utilizada por los pintores, escultores y arquitectos para realizar sus obras más bellas en un afán por plasmar el ideal de perfección, simetría y equilibrio que tan sabiamente diseña la naturaleza.

 φ = AB / CD = 1´61803.
La belleza de la Alhambra de Granada es extraordinaria. Los musulmanes andaluces que la construyeron respetaron escrupulosamente las medidas del número áureo φ. En esta imagen del Patio de los leones resulta muy sencillo encontrar las proporciones para calcular el número mágico de la belleza. (Recomiendo ampliar las fotos con un doble click)

 φ = AB / CD = 1´61803.
En el bellísimo Patio de Machuca de la Alhambra de Granada también resulta fácil encontrar las proporciones del canon de la perfección estética.

   φ = AB / CD = 1´61803.
La Mezquita de Córdoba es quizás uno de los edificios musulmanes más bellos de Andalucía. Las columnas y los arcos de su interior siguen fielmente las proporciones del número áureo. Los arquitectos musulmanes tenían una enorme sensibilidad para plasmar el summum de la belleza en sus edificios. Sin lugar a dudas su amor y su fe en su dios eran inmensos.

 

19 comentarios:

  1. Genial. Enhorabuena por esta magnífica entrada.

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  2. La naturaleza nos sorprende a cada paso, al igual que el amigo Juan, encontrando relaciones matemáticas entre el numero phi (φ = 1 + √5 / 2 = 1´6180339887) y la belleza de una flor. Además nos enseñas la similitud de las inflorescencias masculinas entre los helechos, confieras y palmeras.
    Todo un derroche de conocimiento, relacionando matemáticas, genética y demás, donde la mayoría solo vemos belleza.
    Gracias por compartir tus conocimientos.
    Saludos Juan

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  3. Hola Juan, no dejas de sorpredernos con tus entradas maestras en este blog; gracias por ello y te doy la enhorabuena. Un abrazo.

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  4. Muchas gracias, Manuel, Jesús y Manolo.

    Estos temas son sorprendentes y muy interesantes. Incluso el canto de un ave se puede reducir a una ecuación matemática.

    Un abrazo: Juan

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  5. Hola Juan,
    increible, eliges los temas muy bien y son muy interesantes, sigue así :).

    Saludos

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  6. Muchas gracias, El Niño Bueno y Nematodo. Me alegra saber que os ha gustado.

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  7. COMO MOLA!!! Enhorabuena Juan, un artículo super-interesante. SALUDOS

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  8. Muchas gracias, Sesma. Me alegra mucho saber que te ha gustado. Un saludo.

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  9. Fantastico, un trabajo de lujo, un saludo

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  10. Hola Juan, escribo para darte las gracias y felicitarte por este blog. Esta entrada la guardo en favorito para explicarselo algún dia a los alumnos.
    JR. Ortega

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  11. Muchas gracias, Conchita y JR.

    Un saludo.

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  12. hola Joan
    magnific el treball
    treballs cm aquests et fan apreciar la natura i les matemàtiques

    gràcies

    Lluc

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  13. Moltes gràcies, Lluc.

    Salutacions cordials des de Mallorca.

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  14. Muchísimas gracias, Esperança. Eres muy amable. Uff, me harás sonrojar con tantos elogios. Un fuerte abrazo.

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